funzione di distribuzione e densità particellare?

Domanda di Al: funzione di distribuzione e densità particellare?
IPOTESI:

ho una funzione di distribuzione f(x1,x2,x3,u1,u2,u3,t) dove (x1,x2,x3,u1,u2,u3)=(x,u) è lo spazio delle fasi;

ho che l’integrazione SSf*dx*du=N (ovviamente SS sono i simboli di integrale, x e u sono vettori, N è uno scalare: nello specifico è il numero COSTANTE di particelle nel mio sistema)

TESI:

posso scrivere: S(Sf*du)*dx=N e col teorema fondamentale del calcolo integrale ricavo che Sf*du non dipende da x: d[S(Sf*du)*dx]/dx=dN/dx=0 —-> Sf*du + cost = 0

(il teor. fondamentale vale con f: [a,b] —> R, con [a,b] contenuto in R, mentre la mia f è da R^7 verso R; d/dx con x vettore è l’operatore nabla; posso quindi pensare di usare una alla volta le derivate parziali rispetto a x1, x2, x3 e dimostrare col teor. fondam. che Sf*du non dipende da x1, x2, x3 e quindi non dipende da x)

ottengo quindi: Sf*du * Sdx=N con Sdx=V (volume totale del mio sistema) e di conseguenza: Sf*du = N/V = D densità particellare

DOMANDA:

qualcuno per favore sa dirmi dove cavolo sbaglio?? dalla mia tesi risulta che D=D(t) ma dovrebbe dipendere anche dalla posizione x..
credo che il problema sia in come ho utilizzato il teor. fondam. ma non mi è chiaro perchè non posso utilizzarlo così.
può anche essere che sia giusto, ma vorrebbe dire che è sbagliato il libro, e una densità di particelle costante in tutto il volume mi suona decisamente strano

Migliore risposta:

Answer by TearsInTheRain
Il tuo errore è interpretativo: se un sistema è formato da un numero fissato N di particelle vuol dire che N è costante nel tempo, non nello spazio.
Se assumi che dN/dx = 0 allora vuol dire che esse sono distribuite uniformemente, e integrando questa quantità su tutto il volume ottieni, in effetti, una quantità costante. La densità di particelle è quindi necessariamente uniforme, in questo scenario.
Quindi: dall’ipotesi dN/dx = 0 segue necessariamente che D = D(t) e non è una funzione di x. Se invece dN/dx è diverso da zero allora la densità sarà, ovviamente, una funzione anche della posizione. Nota che dN/dx = 0 implica anche che la funzione di distribuzione è indipendente dalla posizione.

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